Autores

La siguiente información sobre las Transformaciones Lineales es investigada, compilada y realizada por:

Manaure Zoila
Vargas Eloy

DEFINICIÓN

Las transformaciones lineales son las funciones con las que trabajaremos en Álgebra Lineal.
Se trata de funciones entre K-espacios vectoriales que son compatibles con la estructura (es

decir, con la operación y la acción) de estos espacios.

1.1 Definiciones, ejemplos y propiedades básicas

En esta sección introduciremos la noción de transformación lineal, así como también ciertas
nociones básicas asociadas a estas funciones.

Así como cuando se estudian las funciones reales interesan especialmente las funciones continuas, cuando se estudian funciones de un espacio vectorial en otro interesan aquellas que poseen ciertas propiedades especiales, por ejemplo las que conservan operaciones.

 Es decir, que la función sea tal que "conserve" las dos operaciones fundamentales que definen la estructura de espacio vectorial. 

En síntesis, podemos dar la siguiente definición:

Una función T: V ® W (de un espacio vectorial V en un espacio vectorial W) se dice una transformación lineal si, para todo a, b Î V, k Î  K (K es el cuerpo de escalares) se tiene: T (a + b) = T (a) + T (b) T (k a) = k T (a)

que se puede resumir en T (a a + b b) = a T (a) + b T (b), llamada propiedad de linealidad.
Si T: V ® W es una transformación lineal, el espacio V se llama dominio de T y el espacio W se llama codominio de T

CARACTERÍSTICAS Y PROPIEDDADES

Teniendo

Definición 2.1: Sean (V;+V; ^.V ) y (W;+W ; ^.W ) dos K-espacios vectoriales. Una función f : V →W se llama una transformación lineal (u homomorfismo, o simplemente morfismo) de V en W si cumple:

a) f (v +V v^,) = f(v) +W f(v^,) Vv; v0 € V:

b) f (¸ λV v) = ¸ λW f(v) V ¸ € K; V v € V:

Observación 2.2  Si f : V→W es una transformación lineal, entonces f(0V ) = 0W.

En efecto, puesto que f(0V ) = f(0V + 0V ) = f(0V ) + f(0V ), entonces

0W = f(0V ) + (-f(0V )) = f(0V ) + f(0V ) + (-f(0V )) =

= f(0V ) + f(0V ) + (-f(0V )) = f(0V ) + 0W = f(0V ):

Como hemos mencionado al comienzo, las transformaciones lineales respetan la estructura

de K-espacio vectorial. Esto hace que en algunos casos se respete la estructura de subespacio, por ejemplo en las imágenes y pre-imágenes de subespacios por transformaciones lineales:

Proposición 2.3: Sea f : V → W una transformación lineal. Entonces:

1. Si S es un subespacio de V , entonces f(S) es un subespacio de W.

2. Si T es un subespacio de W, entonces f¡1(W) es un subespacio de V .

Proposición 2.4 Sean V y W dos K-espacios vectoriales, V de dimensión finita. Sea B =

{v1……. vn} una base de V y sean w1……wn € W vectores arbitrarios. Entonces existe una

única transformación lineal f : V → W tal que f(vi) = wi para cada 1 ≤ i ≤ n.

 Definición 2.5 Sean V y W dos K-espacios vectoriales, y sea f : V → W una transformación lineal. Se dice que:

1. f es un monomorfismo si f es inyectiva.

2. f es un epimorfismo si f es suryectiva.

3. f es un isomorfismo si f es biyectiva.

En algunos casos, consideraremos transformaciones lineales de un K-espacio vectorial en

sí mismo:

Definición 2.6: Sea V un K-espacio vectorial. Una transformación lineal f : V → V se llama un endomorfismo de V . Si f es un endomorfismo que es además un isomorfismo, entonces se dice que es un automorfismo.

Propiedades:

1.    Para toda transformación lineal T: V → W, T (-x) = -T (x)

2.    Para toda transformación lineal T: V → W, T (0) = 0 ( El que aparece en la izquierda es el vector nulo de V, mientras que el que aparece en el lado derecho es el vector nulo de W. Se puede escribir también T (0_V) = 0_W )

3.    Sea V un espacio vectorial de dimensión finita, W un espacio vectorial, {v₁,..., v_n} una base de V, y {z₁,..., z_n} un conjunto cualquiera de vectores de W. Entonces existe una única transformación lineal T: V ® W tal que T (v_i) = z_i (1 ≤ i ≤ n)

EJEMPLOS

Ejemplo 1. A partir de la definición, analicemos si es lineal la siguiente transformación:

T: R² → R³ / V x Î  R² : T ((x₁, x₂)) = (x₁ + x₂, x₁ - x₂, x₂)

Se deben verificar las dos condiciones de la definición:

a) ¿ V x, y 
Se deben verificar las dos condiciones de la definición:
a) ¿ V x, y Î  R² : T (x + y) = T (x) + T (y) ?

x = (x₁, x₂)
y = (y₁, y₂) 
x + y = (x₁ + y₁, x₂ + y₂) 

T (x + y) = T (x₁ + y₁, x₂ + y₂) = (x₁ + y₁ + x₂ + y₂, x₁ + y₁ - x₂ - y₂, x₂ + y₂) =
                                           = (x₁ + x₂, x₁ - x₂, x₂) + (y₁ + y₂, y₁ - y₂, y₂) = T (x) + T (y)

b) ¿ V x 
x = (x₁, x₂)y = (y₁, y₂) x + y = (x₁ + y₁, x₂ + y₂) 
T (x + y) = T (x₁ + y₁, x₂ + y₂) = (x₁ + y₁ + x₂ + y₂, x₁ + y₁ - x₂ - y₂, x₂ + y₂) =                                           = (x₁ + x₂, x₁ - x₂, x₂) + (y₁ + y₂, y₁ - y₂, y₂) = T (x) + T (y)
b) ¿ V x Î  R², " k Î  R : T (k x) = k T (x) ?

T (k x) = T (k (x₁, x₂)) = T (k x₁, k x₂) = (k x₁ + k x₂, k x₁ - k x₂, k x₂) = 
                                = k (x₁ + x₂, x₁ - x₂, x₂) =
                                = k T (x)

Se verifican las dos condiciones de la definición, entonces la transformación es lineal. 

Ejemplo 2. Analicemos ahora si T es lineal, siendo T: R² ® R² / V x 
T (k x) = T (k (x₁, x₂)) = T (k x₁, k x₂) = (k x₁ + k x₂, k x₁ - k x₂, k x₂) =                                 = k (x₁ + x₂, x₁ - x₂, x₂) =                                = k T (x)
Se verifican las dos condiciones de la definición, entonces la transformación es lineal. 

Ejemplo 2. Analicemos ahora si T es lineal, siendo T: R² → R² / Vx Î  R² : T ((x₁, x₂)) = (x₂, x₁ + 2)

Se deben verificar las dos condiciones de la definición:

a) ¿ V x, y 
Se deben verificar las dos condiciones de la definición:
a) ¿ V x, y Î  R² : T (x + y) = T (x) + T (y) ?

x = (x₁, x₂)
y = (y₁, y₂) 
x + y = (x₁ + y₁, x₂ + y₂) 

T (x) + T (y)  = (x₂, x₁ + 2) + (y₂, y₁ + 2) = (x₂ + y₂, x₁ + y₁ + 4)
T (x + y) = T (x₁ + y₁, x₂ + y₂) = (x₂ + y₂, x₁ + y₁ + 2) 
x = (x₁, x₂)y = (y₁, y₂) x + y = (x₁ + y₁, x₂ + y₂) 
T (x) + T (y)  = (x₂, x₁ + 2) + (y₂, y₁ + 2) = (x₂ + y₂, x₁ + y₁ + 4)T (x + y) = T (x₁ + y₁, x₂ + y₂) = (x₂ + y₂, x₁ + y₁ + 2) ¹ T (x) + T (y) 
                                          
No se verifica esta condición, entonces la transformación no es lineal.

Ejemplo 3. Analicemos ahora si T es lineal, siendo T: M_{n x n} → R / V v Î M_{n x n} : T (v) = det(v)

Sabemos que det(A + B) ¹ det(A) + det(B), y det(kA) = kⁿ det(A) ¹ k det(A), entonces esta transformación no es lineal.                                          No se verifica esta condición, entonces la transformación no es lineal.
Ejemplo 3. Analicemos ahora si T es lineal, siendo T: M_{n x n} → R / V v Î M_{n x n} : T (v) = det(v)
Sabemos que det(A + B) ¹ det(A) + det(B), y det(kA) = kⁿ det(A) ¹ k det(A), entonces esta transformación no es lineal.

Ejercicios Resueltos de Transformaciones Lineales

1). Si V1 = (1,-1) , V2 = (2,-1), V3=(-3,2) y W1=(1,0), W2=(0,-1), W3=(1,1). ¿Existe una transformación lineal T: R2à R, tal que T (vi) = Wi para i = 1,2,3 ?

Solución:

Si { v1, v2 , v3 }es base de R2, entonces existe una única transformación lineal

T: R2 à R

Pero:

(-3,2) = -(1,-1) – ( 2,-1)

Þ { v1, v2 , v3 } no es linealmente Independiente

Þ { v1, v2 , v3 }no es base de R2

Þ no existe tal transformación lineal

2) . Sea T: R3à R3 , transformacion lineal , tal que :

T (1,1,1) = (1,0,2) ; T ( 1,0,1) = ( 0,1,1) ; T ( 0,1,1) = ( 1,0,1)

Encontrar T (x,y,z)

Solución:

Por demostrar que el conjunto {(1,1,1), (1,0,1),(0,1,1)} es base de R3

Sea a.b.c Î R, tal que.

a(1,1,1) + b(1,0,1) + c(0,1,1) = (0,0,0)

a + b = 0

a + c = 0 Þ a = b = c = 0

a + b + c = 0

Luego {(1,1,1),(1,0,1),(0,1,1)} es linealmente Independiente

Sea (x,y,z) Î R3 , entonces existen escalares a,b,c Î R tal que:

a(1,1,1) + b( 1,0,1) + c(0,1,1) =(x,y,z)

a + b = x

a + c = y Þ a = x + y - z ; b = z - y ; c = z - x

a + b + c = z

USACH – Álgebra 2005

Luego {(1,1,1),(1,0,1),(0,1,1)} es base de R3

Existe una única T transformación lineal de R3 en R3 tal que :

T(1,1,1) = (1,0,2) , T(1,0,1) = (0,1,1) , T(0,1,1) = (1,0,1)

T(x,y,z) = T(a(1,1,1) + b(1,0,1) + c(0,1,1))

T(x,y,z) = aT(1,1,1) + bT(1,0,1) + cT(0,1,1)

T(x,y,z) = (x+y-z)T(1,1,1) + (z-y)T(1,0,1) + (z-x)T(0,1,1)

T(x,y,z) = (x+y-z)(1,0,2) + (z-y)(0,1,1) + (z-x)(1,0,1)

T(x,y,z) = (y , z-y , x+y)

3) .Sea T: R2àR transformación lineal definida por

T (x,y,z) = 2x -3y +z

a) Encontrar [t]^ba

 T donde b = { (1,0,0),(1,1,0),(1,1,1)} y a ={2}

b) Encontrar kernel (T), Imagen (T), Nulidad(T) y Rango (T)

Solución:

a)

T( 1,0,0) = 2 = 1(2)

T(1,0,0) = 2-3 = -1 = -1/2 (2)

T(1,1,1) = 2-3+1 = 0 = 0(2)

Luego:

[t]^ba

 T = [1 -1/ 2 0]

b)

Kernel (T) = { (x,y,z) Î R3 / T(x,y,z) = 0 }

Kernel (T) = { (x,y,z) Î R3 / 2x- 3y + z =0 }

Kernel (T) = { (x,y,z) Î R3 / -2x+ 3y = z }

Kernel (T) = { (x,y,-2x+3y) Î R3 / (x,y) Î R2 }

Kernel (T) = (1,0,-2),(0,1,3) es base de Kernel (T)

ÞNulidad (T) = 2

Imagen (T) ={ T(x,y,z) /(x,y,z) Î R3 }

Imagen (T) ={ 2x -3y +z / (x,y,z) Î R3 }

Imagen (T) = 2

ÞRango (T) = 1

USACH – Álgebra 2005

13. Sea T : R4à R3 una transformación lineal definida por.

T(1,1,1,1) = (7,2,3)

T(1,1,1,0) =(6,1,7)

T(1,1,0,0) = (4,1,5)

T(1,0,0,0) = (1,0,1).. Hallar T( x,y,z,w)

Solucion:

El conjunto { (1,1,1,1), (1,1,1,0), (1,1,0,0), (1,0,0,0) } es una base de R4.

Si ( x,y,z,w) Î R4, entonces existen escalares a,b,c,d, tal que:

a(1,1,1,1) + b(1,1,1,0) +c(1,1,0,0) +d(1,0,0,0) = ( x,y,z,w )

a+b+c+d = x

a+b+c = y

a+b = z

a = w

Þa=w , b=z-w , c=y+w-z , d= x-y-w