CARACTERÍSTICAS Y PROPIEDDADES

Teniendo

Definición 2.1: Sean (V;+V; ^.V ) y (W;+W ; ^.W ) dos K-espacios vectoriales. Una función f : V →W se llama una transformación lineal (u homomorfismo, o simplemente morfismo) de V en W si cumple:

a) f (v +V v^,) = f(v) +W f(v^,) Vv; v0 € V:

b) f (¸ λV v) = ¸ λW f(v) V ¸ € K; V v € V:

Observación 2.2  Si f : V→W es una transformación lineal, entonces f(0V ) = 0W.

En efecto, puesto que f(0V ) = f(0V + 0V ) = f(0V ) + f(0V ), entonces

0W = f(0V ) + (-f(0V )) = f(0V ) + f(0V ) + (-f(0V )) =

= f(0V ) + f(0V ) + (-f(0V )) = f(0V ) + 0W = f(0V ):

Como hemos mencionado al comienzo, las transformaciones lineales respetan la estructura

de K-espacio vectorial. Esto hace que en algunos casos se respete la estructura de subespacio, por ejemplo en las imágenes y pre-imágenes de subespacios por transformaciones lineales:

Proposición 2.3: Sea f : V → W una transformación lineal. Entonces:

1. Si S es un subespacio de V , entonces f(S) es un subespacio de W.

2. Si T es un subespacio de W, entonces f¡1(W) es un subespacio de V .

Proposición 2.4 Sean V y W dos K-espacios vectoriales, V de dimensión finita. Sea B =

{v1……. vn} una base de V y sean w1……wn € W vectores arbitrarios. Entonces existe una

única transformación lineal f : V → W tal que f(vi) = wi para cada 1 ≤ i ≤ n.

 Definición 2.5 Sean V y W dos K-espacios vectoriales, y sea f : V → W una transformación lineal. Se dice que:

1. f es un monomorfismo si f es inyectiva.

2. f es un epimorfismo si f es suryectiva.

3. f es un isomorfismo si f es biyectiva.

En algunos casos, consideraremos transformaciones lineales de un K-espacio vectorial en

sí mismo:

Definición 2.6: Sea V un K-espacio vectorial. Una transformación lineal f : V → V se llama un endomorfismo de V . Si f es un endomorfismo que es además un isomorfismo, entonces se dice que es un automorfismo.

Propiedades:

1.    Para toda transformación lineal T: V → W, T (-x) = -T (x)

2.    Para toda transformación lineal T: V → W, T (0) = 0 ( El que aparece en la izquierda es el vector nulo de V, mientras que el que aparece en el lado derecho es el vector nulo de W. Se puede escribir también T (0_V) = 0_W )

3.    Sea V un espacio vectorial de dimensión finita, W un espacio vectorial, {v₁,..., v_n} una base de V, y {z₁,..., z_n} un conjunto cualquiera de vectores de W. Entonces existe una única transformación lineal T: V ® W tal que T (v_i) = z_i (1 ≤ i ≤ n)