DEFINICIÓN

Las transformaciones lineales son las funciones con las que trabajaremos en Álgebra Lineal.
Se trata de funciones entre K-espacios vectoriales que son compatibles con la estructura (es

decir, con la operación y la acción) de estos espacios.

1.1 Definiciones, ejemplos y propiedades básicas

En esta sección introduciremos la noción de transformación lineal, así como también ciertas
nociones básicas asociadas a estas funciones.

Así como cuando se estudian las funciones reales interesan especialmente las funciones continuas, cuando se estudian funciones de un espacio vectorial en otro interesan aquellas que poseen ciertas propiedades especiales, por ejemplo las que conservan operaciones.

 Es decir, que la función sea tal que "conserve" las dos operaciones fundamentales que definen la estructura de espacio vectorial. 

En síntesis, podemos dar la siguiente definición:

Una función T: V ® W (de un espacio vectorial V en un espacio vectorial W) se dice una transformación lineal si, para todo a, b Î V, k Î  K (K es el cuerpo de escalares) se tiene: T (a + b) = T (a) + T (b) T (k a) = k T (a)

que se puede resumir en T (a a + b b) = a T (a) + b T (b), llamada propiedad de linealidad.
Si T: V ® W es una transformación lineal, el espacio V se llama dominio de T y el espacio W se llama codominio de T