EJEMPLOS

Ejemplo 1. A partir de la definición, analicemos si es lineal la siguiente transformación:

T: R² → R³ / V x Î  R² : T ((x₁, x₂)) = (x₁ + x₂, x₁ - x₂, x₂)

Se deben verificar las dos condiciones de la definición:

a) ¿ V x, y 
Se deben verificar las dos condiciones de la definición:
a) ¿ V x, y Î  R² : T (x + y) = T (x) + T (y) ?

x = (x₁, x₂)
y = (y₁, y₂) 
x + y = (x₁ + y₁, x₂ + y₂) 

T (x + y) = T (x₁ + y₁, x₂ + y₂) = (x₁ + y₁ + x₂ + y₂, x₁ + y₁ - x₂ - y₂, x₂ + y₂) =
                                           = (x₁ + x₂, x₁ - x₂, x₂) + (y₁ + y₂, y₁ - y₂, y₂) = T (x) + T (y)

b) ¿ V x 
x = (x₁, x₂)y = (y₁, y₂) x + y = (x₁ + y₁, x₂ + y₂) 
T (x + y) = T (x₁ + y₁, x₂ + y₂) = (x₁ + y₁ + x₂ + y₂, x₁ + y₁ - x₂ - y₂, x₂ + y₂) =                                           = (x₁ + x₂, x₁ - x₂, x₂) + (y₁ + y₂, y₁ - y₂, y₂) = T (x) + T (y)
b) ¿ V x Î  R², " k Î  R : T (k x) = k T (x) ?

T (k x) = T (k (x₁, x₂)) = T (k x₁, k x₂) = (k x₁ + k x₂, k x₁ - k x₂, k x₂) = 
                                = k (x₁ + x₂, x₁ - x₂, x₂) =
                                = k T (x)

Se verifican las dos condiciones de la definición, entonces la transformación es lineal. 

Ejemplo 2. Analicemos ahora si T es lineal, siendo T: R² ® R² / V x 
T (k x) = T (k (x₁, x₂)) = T (k x₁, k x₂) = (k x₁ + k x₂, k x₁ - k x₂, k x₂) =                                 = k (x₁ + x₂, x₁ - x₂, x₂) =                                = k T (x)
Se verifican las dos condiciones de la definición, entonces la transformación es lineal. 

Ejemplo 2. Analicemos ahora si T es lineal, siendo T: R² → R² / Vx Î  R² : T ((x₁, x₂)) = (x₂, x₁ + 2)

Se deben verificar las dos condiciones de la definición:

a) ¿ V x, y 
Se deben verificar las dos condiciones de la definición:
a) ¿ V x, y Î  R² : T (x + y) = T (x) + T (y) ?

x = (x₁, x₂)
y = (y₁, y₂) 
x + y = (x₁ + y₁, x₂ + y₂) 

T (x) + T (y)  = (x₂, x₁ + 2) + (y₂, y₁ + 2) = (x₂ + y₂, x₁ + y₁ + 4)
T (x + y) = T (x₁ + y₁, x₂ + y₂) = (x₂ + y₂, x₁ + y₁ + 2) 
x = (x₁, x₂)y = (y₁, y₂) x + y = (x₁ + y₁, x₂ + y₂) 
T (x) + T (y)  = (x₂, x₁ + 2) + (y₂, y₁ + 2) = (x₂ + y₂, x₁ + y₁ + 4)T (x + y) = T (x₁ + y₁, x₂ + y₂) = (x₂ + y₂, x₁ + y₁ + 2) ¹ T (x) + T (y) 
                                          
No se verifica esta condición, entonces la transformación no es lineal.

Ejemplo 3. Analicemos ahora si T es lineal, siendo T: M_{n x n} → R / V v Î M_{n x n} : T (v) = det(v)

Sabemos que det(A + B) ¹ det(A) + det(B), y det(kA) = kⁿ det(A) ¹ k det(A), entonces esta transformación no es lineal.                                          No se verifica esta condición, entonces la transformación no es lineal.
Ejemplo 3. Analicemos ahora si T es lineal, siendo T: M_{n x n} → R / V v Î M_{n x n} : T (v) = det(v)
Sabemos que det(A + B) ¹ det(A) + det(B), y det(kA) = kⁿ det(A) ¹ k det(A), entonces esta transformación no es lineal.

Ejercicios Resueltos de Transformaciones Lineales

1). Si V1 = (1,-1) , V2 = (2,-1), V3=(-3,2) y W1=(1,0), W2=(0,-1), W3=(1,1). ¿Existe una transformación lineal T: R2à R, tal que T (vi) = Wi para i = 1,2,3 ?

Solución:

Si { v1, v2 , v3 }es base de R2, entonces existe una única transformación lineal

T: R2 à R

Pero:

(-3,2) = -(1,-1) – ( 2,-1)

Þ { v1, v2 , v3 } no es linealmente Independiente

Þ { v1, v2 , v3 }no es base de R2

Þ no existe tal transformación lineal

2) . Sea T: R3à R3 , transformacion lineal , tal que :

T (1,1,1) = (1,0,2) ; T ( 1,0,1) = ( 0,1,1) ; T ( 0,1,1) = ( 1,0,1)

Encontrar T (x,y,z)

Solución:

Por demostrar que el conjunto {(1,1,1), (1,0,1),(0,1,1)} es base de R3

Sea a.b.c Î R, tal que.

a(1,1,1) + b(1,0,1) + c(0,1,1) = (0,0,0)

a + b = 0

a + c = 0 Þ a = b = c = 0

a + b + c = 0

Luego {(1,1,1),(1,0,1),(0,1,1)} es linealmente Independiente

Sea (x,y,z) Î R3 , entonces existen escalares a,b,c Î R tal que:

a(1,1,1) + b( 1,0,1) + c(0,1,1) =(x,y,z)

a + b = x

a + c = y Þ a = x + y - z ; b = z - y ; c = z - x

a + b + c = z

USACH – Álgebra 2005

Luego {(1,1,1),(1,0,1),(0,1,1)} es base de R3

Existe una única T transformación lineal de R3 en R3 tal que :

T(1,1,1) = (1,0,2) , T(1,0,1) = (0,1,1) , T(0,1,1) = (1,0,1)

T(x,y,z) = T(a(1,1,1) + b(1,0,1) + c(0,1,1))

T(x,y,z) = aT(1,1,1) + bT(1,0,1) + cT(0,1,1)

T(x,y,z) = (x+y-z)T(1,1,1) + (z-y)T(1,0,1) + (z-x)T(0,1,1)

T(x,y,z) = (x+y-z)(1,0,2) + (z-y)(0,1,1) + (z-x)(1,0,1)

T(x,y,z) = (y , z-y , x+y)

3) .Sea T: R2àR transformación lineal definida por

T (x,y,z) = 2x -3y +z

a) Encontrar [t]^ba

 T donde b = { (1,0,0),(1,1,0),(1,1,1)} y a ={2}

b) Encontrar kernel (T), Imagen (T), Nulidad(T) y Rango (T)

Solución:

a)

T( 1,0,0) = 2 = 1(2)

T(1,0,0) = 2-3 = -1 = -1/2 (2)

T(1,1,1) = 2-3+1 = 0 = 0(2)

Luego:

[t]^ba

 T = [1 -1/ 2 0]

b)

Kernel (T) = { (x,y,z) Î R3 / T(x,y,z) = 0 }

Kernel (T) = { (x,y,z) Î R3 / 2x- 3y + z =0 }

Kernel (T) = { (x,y,z) Î R3 / -2x+ 3y = z }

Kernel (T) = { (x,y,-2x+3y) Î R3 / (x,y) Î R2 }

Kernel (T) = (1,0,-2),(0,1,3) es base de Kernel (T)

ÞNulidad (T) = 2

Imagen (T) ={ T(x,y,z) /(x,y,z) Î R3 }

Imagen (T) ={ 2x -3y +z / (x,y,z) Î R3 }

Imagen (T) = 2

ÞRango (T) = 1

USACH – Álgebra 2005

13. Sea T : R4à R3 una transformación lineal definida por.

T(1,1,1,1) = (7,2,3)

T(1,1,1,0) =(6,1,7)

T(1,1,0,0) = (4,1,5)

T(1,0,0,0) = (1,0,1).. Hallar T( x,y,z,w)

Solucion:

El conjunto { (1,1,1,1), (1,1,1,0), (1,1,0,0), (1,0,0,0) } es una base de R4.

Si ( x,y,z,w) Î R4, entonces existen escalares a,b,c,d, tal que:

a(1,1,1,1) + b(1,1,1,0) +c(1,1,0,0) +d(1,0,0,0) = ( x,y,z,w )

a+b+c+d = x

a+b+c = y

a+b = z

a = w

Þa=w , b=z-w , c=y+w-z , d= x-y-w